Les trous noirs

5 La physique des trous noirs

A) Rayonnement de Hawking

Pour l’explication du rayonnement de Hawking, il faut d’abord expliquer la fluctuation du vide, en effet, le vide n’est pas vraiment, car celui-ci est composer de paire de matière et antimatière. Ceci est possible grâce au principe d’incertitude d’Heisenberg, en effet, l’énergie du vide que l’on suppose nulle, peut être calculé à une variation près ΔE pendant une durée ΔT avec la relation suivante ΔE x ΔT > h / (4&pi) où h est la constante de Planck. Comme la constante de Planck n’est pas nulle comme tout comme la durée alors on peut donc dire que la relation suivante est vérifiée ΔE &ne 0 de plus on a supposée de façon abstraite que l’énergie du vide est nulle ce qui permet de conclure que l’énergie de la matière est positive et celle de l’antimatière est négative ou bien l’inverse car on peut imaginer les deux cas de figures. On appelle ce phénomène la fluctuation du vide.

Croquis représentant le rayonnement de Hawking

Maintenant que nous connaissons la fluctuation du vide, nous pouvons expliquer le rayonnement de Hawking. Prenons maintenant une particule (associer à son antimatière jusqu’à la ligne d’horizon du trou noir) créer grâce à la fluctuation du vide si celle-ci a une énergie négative alors à l’arrivée à l’horizon du trou noire, la particule chargée négativement tombe dans le trou pendant que la particule chargée positivement s’éloigne loin du trou noir comme cette particule à une énergie alors celle-ci émet une radiation (ce rayonnement est par le calcul théorique un rayonnement thermique), ce qui permet donc de déterminer la température du trou noir car la radiation émise est la même que la radiation émise par le trou noir pour compenser l’arriver de la particule avec une énergie négative. On peut donc en conclure ce que disait Hawking en 2004, le trou noir libère des informations (température,durée de vie, luminosité,...).Le calcul de la température du trou noir sera effectuer dans la partie la thermodynamique du trou noir.

B) La thermodynamique des trous noirs

Le trou noir rayonne comme on l’a vu précédemment grâce au rayonnement de Hawking, si ce rayonnement est dans les radiations thermique, ce qui permet donc de dire que le trou noir est un objet thermodynamique, on peut donc en calculer l’entropie du trou noir comme pour tout autre objet thermodynamique. En 1972, Stephen Hawking prouve que le la surface de l’horizon ne peut pas décroître, ce qui permit alors à Jacob Bekenstein de faire l’analogie entre la surface de l’horizon du trou noir (dénommée A) et l’entropie d’un objet thermodynamique. Il prouva aussi que la température d’un objet peut aussi par analogie pour les trous noirs être remplacer par la gravité de surface Ainsi les deux physiciens ont élaboré les quatre lois de la thermodynamique pour les trous noirs en analogies avec la thermodynamique classique :

Nous allons commencer par le principe appelé Loi zéro, pour un système thermodynamique, la loi zéro est : La température est constante pour un système en équilibre thermique. Cette loi zéro devient pour les trous noirs : La gravité de surface est constante sur l’horizon d’un trou noir. Cette li zéro permet donc bien de conclure qu’un équilibre thermodynamique est possible.

Nous allons voir maintenant le premier principe de la thermodynamique, pour la thermodynamique classique celui-ci est le suivant : la variation d’énergie interne du corps (U) est égale à la somme de la chaleur échangée ( calculée avec l’entropie S et la température T) et les travaux des forces (W) qui s’appliquent sur le système. Ce qui donne sous forme de formule : dU = TdS + W. Pour les trous noir ce premier principe devient : la variation de la masse du trou noir est égale à la variation de la surface de l’horizon multiplié par un facteur égale à k/(8&pi) additionné à Ω multiplié par la variation du moment cinétique J. Ce qui donne sous forme de formule :

Le second principe de la thermodynamique pour les trous noirs est le suivant : la surface de l’horizon ne décroît jamais lors d’un processus classique d’où on en déduit que la variation de la surface de l’horizon est supérieure ou égale à 0 (dA ≥ 0) alors que le second principe de la thermodynamique classique est le suivant : l’entropie ne décroît jamais lors d’un processus classique ce qui en équation revient à dS ≥ 0.

Enfin, on peut maintenant évoquer le troisième principe de la thermodynamique, qui est pour la thermodynamique classique, il est impossible d’atteindre la température d’un système égale à zéro kelvin (soit -273.15°C), ainsi par analogie on peut donner le troisième principe de la thermodynamique du trou noir, il est impossible d’atteindre la valeur de la gravité de surface égale à zéro mètre par second au carré (m.s^-2).

Maintenant grâce au premier principe et des calculs très compliquer fait par Hawking on peut trouver la température du trou noir ainsi que dès que l’on a cela o peut démontrer de façon assez facile la luminosité du trou noir ainsi que la durée de vie du trou noir. Prenons tout d’abord le résultat trouvé par Hawking en 1974 :

Où h est la constante de Planck, G est la constante de gravitation de Newton, c est la célérité de la lumière et M la masse du trou noir. On peut aussi calculer la superficie du trou noir comme on connaît le rayon de Schwarzschild (Rs = (2GM)/c²) :

Grâce à ce résultat, on peut trouver la luminosité du rayonnement de Hawking en effet, le calcul est le suivant :

Où σ est la constante de Stefan - Boltzmann.
Ainsi, si on se place à une distance r du trou noir, on peut calculer le flux du rayonnement de Hawking qui traverse la surface imaginaire (comme on peut le faire pour un champ électrostatique et le théorème de Gauss) :

On sait aussi que d’après l’équation d’Einstein reliant l’énergie à la masse (E=mc²), que dE = dMc² or -dE/dt est égale à la luminosité du trou noir et ainsi on put trouver la durée de vie d’un trou noir, voici la démonstration :

En séparant les variables ainsi qu’en intégrant, on peut trouver t (la durée de vie du trou noir) en fonction de la masse initiale M0 :

Ce qui donne après les calculs des constantes et si on met en fonction de la masse du soleil (M=2.10³⁰kg) :

On peut donc penser que la durée de vie d’un trou noir est très longue compte tenu des paramètres dits plus tôt.

C) Effet Doppler

Photographie d’un trou noir et son disque d’accrétion

L’effet Doppler est un effet qui peut se déduire sur des images que l’on peut avoir d’un objet céleste en effet, ce phénomène est un rallongement ou un raccourcissement de la longueur d’onde (ce qui correspond à un changement de couleur) qui est émise par un corps. En effet si on prend l’image ci contre, on peut voir que la partie gauche de l’image est plus sombre et donc dans la partie des longueurs d’ondes plus courtes ( on a affaire d’un blueshift) alors que dans la partie droite de l’image c’est dans les couleur rouge (redshift), ce qui permet donc de déduire que la partie droite est plus proche de nous que la partie gauche, en effet, d’après la démonstration qui va suivre , en effet, plus la vitesse l’éloignement est proche de la célérité de la lumière plus un rayonnement bleu qui serait émis du trou noir, aurait une couleur rouge à nos yeux, voici la démonstration (où v est la vitesse d’éloignement du rayonnement émis, &lembda;' est la longueur d’onde reçue et &lembda; la longueur d’onde émise par le trou noir et est le facteur permettant de passer de la mécanique classique en relativité restreinte :

En introduisant β on obtient :

Ce qui avec donne avec un calcul simple, pour un rayonnement violet ce qui correspond à une longueur d’onde de 400nm et si on prend une vitesse équivalente à 0.9 c, on obtient un rayonnement rouge.

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